Algèbre Exemples

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x)$

Étape 2

Factorisez.

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Étape 2.1

Réécrivez $\sin^{4} (x)$ comme ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - \cos^{4} (x)$

Étape 2.2

Réécrivez $\cos^{4} (x)$ comme ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} - {(\cos^{2} (x))}^{2}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin^{2} (x)$ et $b = \cos^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 (\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x))$

Étape 2.4.2

Multipliez $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 2.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (x)$ et $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Développez $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) - \cos (x))$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin^{4} (x) - \cos^{4} (x) = \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ est une identité