Algèbre Exemples

${(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}} = - 1$

Étape 2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 4 x + 5)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 4 x + 5 = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x^{2} + 4 x + 5 = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 4 x + 5 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 4 x + 5 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 4 x + 5 = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 4 x + 5 = 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x + 5 - 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $5$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Étape 4.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} + 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 4.3.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 4.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.4

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas ${(x^{2} + 4 x + 5)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$ vrai.

$Aucune solution$