Algèbre Exemples

$\frac{x - 3}{x + 3} - \frac{1}{x - 3} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{x - 3}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 3}{x + 3} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x - 3}{x + 3}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{x - 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 3}{(x - 3) (x + 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{x + 3}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 3) (x - 3) - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 3) - 3 (x - 3) - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.2.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x - 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 9 - x - 3}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.5

Soustrayez $x$ de $- 6 x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 9 - 3}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.6

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 5.7

Factorisez $x^{2} - 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 5.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{3 - x}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{- 1 (- 3) - x}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{- 1 (- 3) - (x)}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{x + 2}{- 1 (- 3 + x)}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{x + 2}{- 1 (- 3 + x)}$ au numérateur.

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- (x + 2)}{- 3 + x}$

Étape 6.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- (x + 2)}{x - 3}$

Étape 7

Pour écrire $\frac{- (x + 2)}{x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- (x + 2)}{x - 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{- (x + 2)}{x - 3}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- (x + 2) (x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

Étape 8.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 6) (x - 1)}{(x + 3) (x - 3)} + \frac{- (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 6) (x - 1) - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Développez $(x - 6) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 1) - 6 (x - 1) - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 6 \cdot - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.2.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 6 - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.2.2

Soustrayez $6 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - (x + 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 + (- x - 2) (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.5

Développez $(- x - 2) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - x (x + 3) - 2 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 (x + 3)}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - (x \cdot x) - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.6.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - 3 x - 2 x - 2 \cdot 3}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - 3 x - 2 x - 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.6.2

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} - 5 x - 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.7

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 7 x + 6 + 0 - 5 x - 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.8

Additionnez $- 7 x$ et $0$ .

$\frac{- 7 x + 6 - 5 x - 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.9

Soustrayez $5 x$ de $- 7 x$ .

$\frac{- 12 x + 6 - 6}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.10

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{- 12 x + 0}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 10.11

Additionnez $- 12 x$ et $0$ .

$\frac{- 12 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 x}{(x + 3) (x - 3)}$