Algèbre Exemples

$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = \sqrt[6]{3^{5}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{3^{5}}$ comme $3^{\frac{5}{6}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{5}{6}}$

Étape 2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{x}} = 3^{\frac{5}{6}}$

Étape 3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{x} = \frac{5}{6}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{x} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x} = \frac{5 - 3}{6}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{1}{x} = \frac{2}{6}$

Étape 4.1.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 4.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{x} = \frac{2 (1)}{6}$

Étape 4.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 4.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 3$

Étape 4.2.2

Comme $x, 3$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 3$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}$ .

Étape 4.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 4.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 4.2.5

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 4.2.6

Le plus petit multiple commun de $1, 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 4.2.7

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 4.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 4.2.9

Le plus petit multiple commun pour $x, 3$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 x$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ par $3 x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{x} (3 x) = \frac{1}{3} (3 x)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{x} x = \frac{1}{3} (3 x)$

Étape 4.3.2.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} x = \frac{1}{3} (3 x)$

Étape 4.3.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x} x = \frac{1}{3} (3 x)$

Étape 4.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 = \frac{1}{3} (3 x)$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$3 = \frac{1}{3} (3 (x))$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 = \frac{1}{3} (3 x)$

Étape 4.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 = x$

Étape 4.4

Réécrivez l’équation comme $x = 3$ .

$x = 3$