Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 2.5

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 0 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.2.2

Additionnez $x^{2} + x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x - 1}$