Algèbre Exemples

$12 n^{2} + 48 n = - n^{3} - 64$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $n^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} = - 64$

Étape 1.2

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$12 n^{2} + 48 n + n^{3} + 64 = 0$

Étape 2

Remettez les termes dans l’ordre.

$n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64 = 0$

Étape 3

Réécrivez $n^{3} + 12 n^{2} + 48 n + 64$ en forme factorisée.

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Étape 3.1

Regroupez les termes.

$n^{3} + 64 + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$n^{3} + 4^{3} + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Étape 3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = n$ et $b = 4$ .

$(n + 4) (n^{2} - n \cdot 4 + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 4^{2}) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Étape 3.4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n^{2} + 48 n = 0$

Étape 3.5

Factorisez $12 n$ à partir de $12 n^{2} + 48 n$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $12 n$ à partir de $12 n^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 48 n = 0$

Étape 3.5.2

Factorisez $12 n$ à partir de $48 n$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n) + 12 n (4) = 0$

Étape 3.5.3

Factorisez $12 n$ à partir de $12 n (n) + 12 n (4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4) = 0$

Étape 3.6

Factorisez $n + 4$ à partir de $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + 12 n (n + 4)$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $n + 4$ à partir de $12 n (n + 4)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n) = 0$

Étape 3.6.2

Factorisez $n + 4$ à partir de $(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16) + (n + 4) (12 n)$ .

$(n + 4) (n^{2} - 4 n + 16 + 12 n) = 0$

Étape 3.7

Additionnez $- 4 n$ et $12 n$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 16) = 0$

Étape 3.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.8.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(n + 4) (n^{2} + 8 n + 4^{2}) = 0$

Étape 3.8.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 n = 2 \cdot n \cdot 4$

Étape 3.8.3

Réécrivez le polynôme.

$(n + 4) (n^{2} + 2 \cdot n \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 3.8.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = 4$ .

$(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$n + 4 = 0$

${(n + 4)}^{2} = 0$

Étape 5

Définissez $n + 4$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

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Étape 5.1

Définissez $n + 4$ égal à $0$ .

$n + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$n = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(n + 4) {(n + 4)}^{2} = 0$ vraie.

$n = - 4$