Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ comme une équation.

$y = \sqrt{9 x^{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{9 y^{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{9 y^{2}} = x$ .

$\sqrt{9 y^{2}} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{9 y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 y^{2}}$ comme ${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 y^{2})}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$9 y^{2} = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = x^{2}$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1.1

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = x^{2}$ par $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Étape 3.4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

Étape 3.4.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9}$

Étape 3.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$ .

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Étape 3.4.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ comme ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Étape 3.4.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm \frac{x}{3}$

Étape 3.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{x}{3}$

Étape 3.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{x}{3}$

Étape 3.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{x}{3}$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ est le domaine de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

Étape 6