Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique de la fonction de valeur absolue.

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{| x |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x | = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Étape 1.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 1}{| x - 1 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| x - 1 | = 0$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Étape 1.4.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.4.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0, 1}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0, 1}$

Étape 2

Pour chaque valeur $x$ , il y a une valeur $y$ . Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du sommet de la valeur absolue.

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Étape 2.1

Remplacez la valeur $x$ $- 2$ dans $f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$ . Dans ce cas, le point est $(- 2, - 2)$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |} + \frac{(- 2) - 1}{| (- 2) - 1 |}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |} + \frac{- 3}{| (- 2) - 1 |}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{2} + \frac{- 3}{| (- 2) - 1 |}$

Étape 2.1.2.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$f (- 2) = - 1 + \frac{- 3}{| (- 2) - 1 |}$

Étape 2.1.2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.2.2.3.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + \frac{- 3}{| - 3 |}$

Étape 2.1.2.2.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 3$ et $0$ est $3$ .

$f (- 2) = - 1 + \frac{- 3}{3}$

Étape 2.1.2.2.4

Divisez $- 3$ par $3$ .

$f (- 2) = - 1 - 1$

Étape 2.1.2.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (- 2) = - 2$

Étape 2.1.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 2.2

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \frac{x}{| x |} + \frac{x - 1}{| x - 1 |}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 2)$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{2}{| 2 |} + \frac{(2) - 1}{| (2) - 1 |}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \frac{2}{| 2 |} + \frac{1}{| (2) - 1 |}$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$f (2) = \frac{2}{2} + \frac{1}{| (2) - 1 |}$

Étape 2.2.2.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$f (2) = 1 + \frac{1}{| (2) - 1 |}$

Étape 2.2.2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.2.3.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = 1 + \frac{1}{| 1 |}$

Étape 2.2.2.2.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$f (2) = 1 + \frac{1}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez $1$ par $1$ .

$f (2) = 1 + 1$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (2) = 2$

Étape 2.2.2.4

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.3

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 2, - 2), (- 1, - 2), (2, 2)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - 2 \\ 2 & 2 \end{array}$

Étape 3