Algèbre Exemples

$\frac{3}{x^{2} - 4} - \frac{x + 5}{x + 2}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{x + 5}{x + 2}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 5}{x + 2}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{x + 5}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 5}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 5}{x + 2}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 5) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - (x + 5) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 + (- x - 1 \cdot 5) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{3 + (- x - 5) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.3

Développez $(- x - 5) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - x (x - 2) - 5 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 5 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 - x^{2} - x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{3 - x^{2} + 2 x - 5 x - 5 \cdot - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.4.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{3 - x^{2} + 2 x - 5 x + 10}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $5 x$ de $2 x$ .

$\frac{3 - x^{2} - 3 x + 10}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 4.5

Additionnez $3$ et $10$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 13}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 3 x + 13}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (3 x) + 13}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 3 x) + 13}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.4

Réécrivez $13$ comme $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x^{2} + 3 x - 13)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $- (x^{2} + 3 x - 13)$ comme $- 1 (x^{2} + 3 x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 3 x - 13)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} + 3 x - 13}{(x + 2) (x - 2)}$