Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \div \frac{x^{2} - 25}{5 x + 10}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 10}{x^{2} - 25}$

Étape 3

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 10$ .

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Étape 3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x) + 10}{x^{2} - 25}$

Étape 3.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 x + 5 \cdot 2}{x^{2} - 25}$

Étape 3.3

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 5 \cdot 2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 25}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x^{2} - 5^{2}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.1

Factorisez $x + 5$ à partir de ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (x + 5)}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 5}{x - 5} \cdot \frac{5 (x + 2)}{x - 5}$

Étape 6

Multipliez $\frac{x + 5}{x - 5}$ par $\frac{5 (x + 2)}{x - 5}$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{(x - 5) (x - 5)}$

Étape 7

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} (x - 5)}$

Étape 8

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1}}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{1 + 1}}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x + 5) (5 (x + 2))}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 11

Déplacez $5$ à gauche de $x + 5$ .

$\frac{5 (x + 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 5) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 13

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{(5 x + 25) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 14

Développez $(5 x + 25) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (x + 2) + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 (x + 2)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 15

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 15.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot 2 + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 15.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 25 \cdot 2}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 15.1.3

Multipliez $25$ par $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 25 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 15.2

Additionnez $10 x$ et $25 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 16

Divisez la fraction $\frac{5 x^{2} + 35 x + 50}{{(x - 5)}^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 17

Divisez la fraction $\frac{5 x^{2} + 35 x}{{(x - 5)}^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{5 x^{2}}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{35 x}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{50}{{(x - 5)}^{2}}$