Algèbre Exemples

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{3^{- 2} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}} \frac{5^{3} \cdot 5^{- 2}}{(5) \cdot 3^{- 2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Multipliez $5^{3}$ par $5^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{2}{3})}^{2} (\frac{3^{- 2} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}}) \cdot \frac{5^{3 - 2}}{(5) \cdot 3^{- 2}}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} (\frac{3^{- 2} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}}) \cdot \frac{5^{1}}{(5) \cdot 3^{- 2}}$

Étape 1.2

Simplifiez $5^{1}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} (\frac{3^{- 2} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}}) \cdot \frac{5}{(5) \cdot 3^{- 2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} (\frac{3^{- 2} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}}) \cdot \frac{5}{5 \cdot \frac{1}{3^{2}}}$

Étape 2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} (\frac{3^{- 2} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}}) \cdot \frac{5}{5 \cdot \frac{1}{9}}$

Étape 3

Associez $5$ et $\frac{1}{9}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} (\frac{3^{- 2} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}}) \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{\frac{1}{3^{2}} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{\frac{1}{9} {(- 3)}^{3}}{{(3^{- 1})}^{- 3}} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 4.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{\frac{1}{9} \cdot - 27}{{(3^{- 1})}^{- 3}} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Multipliez les exposants dans ${(3^{- 1})}^{- 3}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{\frac{1}{9} \cdot - 27}{3^{- - 3}} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{\frac{1}{9} \cdot - 27}{3^{3}} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 5.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{\frac{1}{9} \cdot - 27}{27} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $- 27$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{\frac{- 27}{9}}{27} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1

Divisez $- 27$ par $9$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} \frac{- 3}{27} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{- 3}{27} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 6.3

Associez.

$\frac{2^{2} \cdot - 3}{3^{2} \cdot 27} \cdot \frac{5}{\frac{5}{9}}$

Étape 6.4

Associez.

$\frac{2^{2} \cdot - 3 \cdot 5}{3^{2} \cdot 27 \frac{5}{9}}$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $27$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $3$ à partir de $2^{2} \cdot - 3 \cdot 5$ .

$\frac{3 (2^{2} \cdot - 1 \cdot 5)}{3^{2} \cdot 27 \frac{5}{9}}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{2} \cdot 27 \frac{5}{9}$ .

$\frac{3 (2^{2} \cdot - 1 \cdot 5)}{3 (3 \cdot 27 \frac{5}{9})}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2^{2} \cdot - 1 \cdot 5)}{3 (3 \cdot 27 \frac{5}{9})}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{2} \cdot - 1 \cdot 5}{3 \cdot 27 \frac{5}{9}}$

Étape 6.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2^{2} \cdot - 5}{3 \cdot 27 \frac{5}{9}}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Multipliez $3$ par $27$ .

$\frac{2^{2} \cdot - 5}{81 (\frac{5}{9})}$

Étape 7.2

Associez $81$ et $\frac{5}{9}$ .

$\frac{2^{2} \cdot - 5}{\frac{81 \cdot 5}{9}}$

Étape 8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1

Multipliez $81$ par $5$ .

$\frac{2^{2} \cdot - 5}{\frac{405}{9}}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{\frac{405}{9}}$

Étape 8.2.2

Divisez $405$ par $9$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{45}$

Étape 8.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$\frac{- 20}{45}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $45$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$\frac{5 (- 4)}{45}$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $45$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 9}$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 \cdot 9}$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{9}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{9}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4}{9}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{4}$