Algèbre Exemples

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

Étape 1

Réécrivez $3^{x + 2}$ comme $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

Étape 2

Réécrivez $3^{1 - x}$ comme $3^{1} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

Étape 3

Réécrivez $3^{- x}$ comme une élévation à une puissance.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

Étape 4

Remplacez $3^{x}$ par $u$ .

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Étape 5.2

Déplacez $9$ à gauche de $u$ .

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

Étape 5.4

Associez $3$ et $\frac{1}{u}$ .

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

Étape 6

Résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1$

Étape 6.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $9 u + \frac{3}{u} = 28$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $9 u + \frac{3}{u} = 28$ par $u$ .

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Déplacez $u$ .

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

Étape 6.2.2.1.1.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $28 u$ des deux côtés de l’équation.

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Étape 6.3.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ et dont la somme est $b = - 28$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $- 28$ à partir de $- 28 u$ .

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Étape 6.3.2.2.2

Réécrivez $- 28$ comme $- 1$ plus $- 27$

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Étape 6.3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Étape 6.3.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

Étape 6.3.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Étape 6.3.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

Étape 6.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Étape 6.3.4

Définissez $9 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.3.4.1

Définissez $9 u - 1$ égal à $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Étape 6.3.4.2

Résolvez $9 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 6.3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$9 u = 1$

Étape 6.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $9 u = 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 u = 1$ par $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 6.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 6.3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Étape 6.3.4.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Étape 6.3.5

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.3.5.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 6.3.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 6.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{9}, 3$

Étape 7

Remplacez $u$ par $\frac{1}{9}$ dans $u = 3^{x}$ .

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

Étape 8

Résolvez $\frac{1}{9} = 3^{x}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = \frac{1}{9}$ .

$3^{x} = \frac{1}{9}$

Étape 8.2

Élevez $9$ à la puissance $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

Étape 8.3

Placez $9^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x} = 9^{- 1}$

Étape 8.4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{- 2}$

Étape 8.5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = - 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $3$ dans $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Étape 10

Résolvez $3 = 3^{x}$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Étape 10.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{1}$

Étape 10.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 11

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = - 2, 1$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $243.\overline{1}$ est supérieur au côté droit $28$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $12$ n’est pas supérieur au côté droit $28$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $729.\overline{037}$ est supérieur au côté droit $28$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 13.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > 1$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or x > 1$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Étape 16