Algèbre Exemples

$f (t) = \frac{1}{10} t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2}$

Étape 1

Définissez $\frac{1}{10} \cdot (t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2})$ égal à $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot (t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2}) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{10} \cdot (t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2}) = 0$ par $10$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{10} \cdot (t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2}) = 0$ par $10$ .

$\frac{1}{10} \cdot (t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2}) \cdot 10 = 0 \cdot 10$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{10} (t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2})$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Associez $t^{2}$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{t^{2}}{10} ({(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2}) \cdot 10 = 0 \cdot 10$

Étape 2.1.2.1.2

Associez ${(t - 4)}^{3}$ et $\frac{t^{2}}{10}$ .

$\frac{{(t - 4)}^{3} t^{2}}{10} {(t + 5)}^{2} \cdot 10 = 0 \cdot 10$

Étape 2.1.2.1.3

Associez $\frac{{(t - 4)}^{3} t^{2}}{10}$ et ${(t + 5)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 4)}^{3} t^{2} {(t + 5)}^{2}}{10} \cdot 10 = 0 \cdot 10$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(t - 4)}^{3} t^{2} {(t + 5)}^{2}}{10} \cdot 10 = 0 \cdot 10$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

${(t - 4)}^{3} t^{2} {(t + 5)}^{2} = 0 \cdot 10$

Étape 2.1.2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans ${(t - 4)}^{3} t^{2} {(t + 5)}^{2}$ .

$t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2} = 0 \cdot 10$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $0$ par $10$ .

$t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t^{2} = 0$

${(t - 4)}^{3} = 0$

${(t + 5)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $t^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $t^{2}$ égal à $0$ .

$t^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $t^{2} = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$t = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$t = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(t - 4)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(t - 4)}^{3}$ égal à $0$ .

${(t - 4)}^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(t - 4)}^{3} = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $t - 4$ égal à $0$ .

$t - 4 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 4$

Étape 2.5

Définissez ${(t + 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(t + 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(t + 5)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(t + 5)}^{2} = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $t + 5$ égal à $0$ .

$t + 5 = 0$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 5$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t^{2} {(t - 4)}^{3} {(t + 5)}^{2} = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$t = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$t = 4$ (Multiplicité de $3$ )

$t = - 5$ (Multiplicité de $2$ )

$t = 0$ (Multiplicité de $2$ )

$t = 4$ (Multiplicité de $3$ )

$t = - 5$ (Multiplicité de $2$ )

Étape 3