Algèbre Exemples

$5^{- \frac{2}{3}} = \frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 5^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $25^{\frac{4}{3}}$ .

$25^{\frac{4}{3}} \frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $25^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$25^{\frac{4}{3}} \frac{125^{\frac{x}{3}}}{25^{\frac{4}{3}}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$125^{\frac{x}{3}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3.2.1.2

Associez $25^{\frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = \frac{25^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4

Placez $5^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 25^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = {(5^{2})}^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(5^{2})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{2 (\frac{4}{3})} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 6.2

Multipliez $2 (\frac{4}{3})$ .

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Étape 6.2.1

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{2 \cdot 4}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{8}{3}} \cdot 5^{- \frac{2}{3}}$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{8 - 2}{3}}$

Étape 9

Soustrayez $2$ de $8$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{6}{3}}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 10.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{3 \cdot 2}{3}}$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{\frac{2}{1}}$

Étape 10.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$125^{\frac{x}{3}} = 5^{2}$

Étape 11

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$5^{3 \frac{x}{3}} = 5^{2}$

Étape 12

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$3 \frac{x}{3} = 2$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 2$

Étape 13.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2$