Algèbre Exemples

$\frac{8 - 8 i \sqrt{5}}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $8 - 8 i \sqrt{5}$ et $6 + 2 i \sqrt{5}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4 - 8 i \sqrt{5}}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 i \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4 + 2 (- 4 i \sqrt{5})}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4) + 2 (- 4 i \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{6 + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3) + 2 i \sqrt{5}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 i \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3) + 2 (i \sqrt{5})}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (i \sqrt{5})$ .

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3 + i \sqrt{5})}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 - 4 i \sqrt{5})}{2 (3 + i \sqrt{5})}$

Étape 1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}}$ par $\frac{3 - i \sqrt{5}}{3 - i \sqrt{5}}$ .

$\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}} \cdot \frac{3 - i \sqrt{5}}{3 - i \sqrt{5}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{4 - 4 i \sqrt{5}}{3 + i \sqrt{5}}$ par $\frac{3 - i \sqrt{5}}{3 - i \sqrt{5}}$ .

$\frac{(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{(3 + i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{9 - 3 (i \sqrt{5}) + i \sqrt{5} \cdot 3 - i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{14}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $4 - 4 i \sqrt{5}$ et $14$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $(4 - 4 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})$ .

$\frac{2 ((2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5}))}{14}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\frac{2 ((2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5}))}{2 (7)}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5}))}{2 \cdot 7}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})}{7}$

Étape 4

Développez $(2 - 2 i \sqrt{5}) (3 - i \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 - i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} (3 - i \sqrt{5})}{7}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} (3 - i \sqrt{5})}{7}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} \cdot 3 - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 (- i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} \cdot 3 - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6 - 2 (i \sqrt{5}) - 2 i \sqrt{5} \cdot 3 - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Étape 5.1.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})}{7}$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 2 i \sqrt{5} (- i \sqrt{5})$ .

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i \sqrt{5} (i \sqrt{5})}{7}$

Étape 5.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 (i^{1} i) \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Étape 5.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Étape 5.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{1 + 1} \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Étape 5.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} \sqrt{5} \sqrt{5}}{7}$

Étape 5.1.4.6

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{7}$

Étape 5.1.4.7

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{7}$

Étape 5.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{7}$

Étape 5.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{7}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} + 2 \cdot - 1 {\sqrt{5}}^{2}}{7}$

Étape 5.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 {\sqrt{5}}^{2}}{7}$

Étape 5.1.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 5.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{7}$

Étape 5.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{7}$

Étape 5.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{7}$

Étape 5.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{7}$

Étape 5.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5^{1}}{7}$

Étape 5.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 2 \cdot 5}{7}$

Étape 5.1.8

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{6 - 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 10}{7}$

Étape 5.2

Soustrayez $10$ de $6$ .

$\frac{- 2 i \sqrt{5} - 6 i \sqrt{5} - 4}{7}$

Étape 5.3

Soustrayez $6 i \sqrt{5}$ de $- 2 i \sqrt{5}$ .

$\frac{- 8 i \sqrt{5} - 4}{7}$

Étape 6

Remettez dans l’ordre $- 8 i \sqrt{5}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4 - 8 i \sqrt{5}}{7}$

Étape 7

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{- 1 (4) - 8 i \sqrt{5}}{7}$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 8 i \sqrt{5}$ .

$\frac{- 1 (4) - (8 i \sqrt{5})}{7}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (8 i \sqrt{5})$ .

$\frac{- 1 (4 + 8 i \sqrt{5})}{7}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 + 8 i \sqrt{5}}{7}$