Algèbre Exemples

$2 \log (x) + \frac{1}{2} \log (9) = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log (9)$ .

$2 \log (x) + \frac{\log (9)}{2} = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log (x) + \frac{\log (9)}{2}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $2 \log (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2}) + \frac{\log (9)}{2} = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $\log (9)$ comme $\log (3^{2})$ .

$\log (x^{2}) + \frac{\log (3^{2})}{2} = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 2.1.1.3

Développez $\log (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\log (x^{2}) + \frac{2 \log (3)}{2} = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log (x^{2}) + \frac{2 \log (3)}{2} = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 2.1.1.4.2

Divisez $\log (3)$ par $1$ .

$\log (x^{2}) + \log (3) = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x^{2} \cdot 3) = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 2.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Simplifiez $\log (3 x + 4) + \log (x - 2)$ .

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Étape 3.1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (3 x^{2}) = \log ((3 x + 4) (x - 2))$

Étape 3.1.2

Développez $(3 x + 4) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x (x - 2) + 4 (x - 2))$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 4 (x - 2))$

Étape 3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2)$

Étape 3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\log (3 x^{2}) = \log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2)$

Étape 3.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2)$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x^{2} - 6 x + 4 x + 4 \cdot - 2)$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x^{2} - 6 x + 4 x - 8)$

Étape 3.1.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $4 x$ .

$\log (3 x^{2}) = \log (3 x^{2} - 2 x - 8)$

Étape 4

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$3 x^{2} = 3 x^{2} - 2 x - 8$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 3 x^{2}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 2 x - 8 - 3 x^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{2} - 2 x - 8 - 3 x^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $3 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$- 2 x - 8 + 0 = 0$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 2 x - 8$ et $0$ .

$- 2 x - 8 = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x = 8$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 8$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 8$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{8}{- 2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{8}{- 2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{- 2}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Divisez $8$ par $- 2$ .

$x = - 4$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log (x) + \frac{1}{2} \cdot \log (9) = \log (3 x + 4) + \log (x - 2)$ vrai.

$Aucune solution$