Algèbre Exemples

${(x + y)}^{4} - 1$

Étape 1

Réécrivez ${(x + y)}^{4}$ comme ${({(x + y)}^{2})}^{2}$ .

${({(x + y)}^{2})}^{2} - 1$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${({(x + y)}^{2})}^{2} - 1^{2}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + y)}^{2}$ et $b = 1$ .

$({(x + y)}^{2} + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$((x + y) (x + y) + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.2

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + y) + y (x + y) + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x y + y (x + y) + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x y + y x + y \cdot y + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x y + y x + y \cdot y + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(x^{2} + x y + y x + y^{2} + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.3.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 4.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$(x^{2} + x y + x y + y^{2} + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2} + 1) ({(x + y)}^{2} - 1)$

Étape 4.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2} + 1) ({(x + y)}^{2} - 1^{2})$

Étape 4.5

Factorisez.

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Étape 4.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + y$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 2 x y + y^{2} + 1) ((x + y + 1) (x + y - 1))$

Étape 4.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2} + 1) (x + y + 1) (x + y - 1)$