Algèbre Exemples

$\log_{4} (3 x^{2} - 4) - \log_{4} (4 x + 2) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{3 x^{2} - 4}{4 x + 2}) = 1$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\log_{4} (\frac{3 x^{2} - 4}{2 (2 x) + 2}) = 1$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\log_{4} (\frac{3 x^{2} - 4}{2 (2 x) + 2 (1)}) = 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\log_{4} (\frac{3 x^{2} - 4}{2 (2 x + 1)}) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{4} (\frac{3 x^{2} - 4}{2 (2 x + 1)}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{1} = \frac{3 x^{2} - 4}{2 (2 x + 1)}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$3 x^{2} - 4 = 4 (2 (2 x + 1))$

Étape 4

Simplifiez $4 (2 (2 x + 1))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 4 = 4 (2 (2 x) + 2 \cdot 1)$

Étape 4.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x^{2} - 4 = 4 (4 x + 2 \cdot 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 x^{2} - 4 = 4 (4 x + 2)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 4 = 4 (4 x) + 4 \cdot 2$

Étape 4.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$3 x^{2} - 4 = 16 x + 4 \cdot 2$

Étape 4.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$3 x^{2} - 4 = 16 x + 8$

Étape 5

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 4 - 16 x = 8$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 16 x = 8 + 4$

Étape 6.2

Additionnez $8$ et $4$ .

$3 x^{2} - 16 x = 12$

Étape 7

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ et dont la somme est $b = - 16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

Étape 8.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $2$ plus $- 18$

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

Étape 10

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 11

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2}{3}, 6$

Étape 13

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{4} (3 x^{2} - 4) - \log_{4} (4 x + 2) = 1$ vrai.

$x = 6$