Algèbre Exemples

$\frac{x^{6} - 4 x^{4} + 3 x^{2}}{5 x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6} - 4 x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} x^{4} - 4 x^{4} + 3 x^{2}}{5 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 4 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{4} + x^{2} (- 4 x^{2}) + 3 x^{2}}{5 x^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{4} + x^{2} (- 4 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{5 x^{2}}$

Étape 1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{4} + x^{2} (- 4 x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x^{4} - 4 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{5 x^{2}}$

Étape 1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{4} - 4 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x^{4} - 4 x^{2} + 3)}{5 x^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 3)}{5 x^{2}}$

Étape 1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$\frac{x^{2} (u^{2} - 4 u + 3)}{5 x^{2}}$

Étape 1.4

Factorisez $u^{2} - 4 u + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x^{2} ((u - 3) (u - 1))}{5 x^{2}}$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} ((x^{2} - 3) (x^{2} - 1))}{5 x^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} ((x^{2} - 3) (x^{2} - 1^{2}))}{5 x^{2}}$

Étape 1.7

Factorisez.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 3) (x + 1) (x - 1)}{5 x^{2}}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 3) (x + 1) (x - 1)}{5 x^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x^{2} - 3) (x + 1)) (x - 1)}{5}$

$\frac{(x^{2} - 3) (x + 1) (x - 1)}{5}$

Étape 3

Développez $(x^{2} - 3) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} (x + 1) - 3 (x + 1)) (x - 1)}{5}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 3 (x + 1)) (x - 1)}{5}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) (x - 1)}{5}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) (x - 1)}{5}$

Étape 4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) (x - 1)}{5}$

Étape 4.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) (x - 1)}{5}$

Étape 4.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{(x^{3} + x^{2} - 3 x - 3 \cdot 1) (x - 1)}{5}$

Étape 4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{(x^{3} + x^{2} - 3 x - 3) (x - 1)}{5}$

Étape 5

Développez $(x^{3} + x^{2} - 3 x - 3) (x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 6.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.3

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.6

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} - 3 x^{2} + 3 x - 3 x - 3 \cdot - 1}{5}$

Étape 6.9

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} - 3 x^{2} + 3 x - 3 x + 3}{5}$

Étape 7

Associez les termes opposés dans $x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} - 3 x^{2} + 3 x - 3 x + 3$ .

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Étape 7.1

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{x^{4} + 0 - x^{2} - 3 x^{2} + 3 x - 3 x + 3}{5}$

Étape 7.2

Additionnez $x^{4}$ et $0$ .

$\frac{x^{4} - x^{2} - 3 x^{2} + 3 x - 3 x + 3}{5}$

Étape 7.3

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{x^{4} - x^{2} - 3 x^{2} + 0 + 3}{5}$

Étape 7.4

Additionnez $x^{4} - x^{2} - 3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x^{4} - x^{2} - 3 x^{2} + 3}{5}$

Étape 8

Soustrayez $3 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} + 3}{5}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{x^{4} - 4 x^{2} + 3}{5}$ en deux fractions.

$\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{5} + \frac{3}{5}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{5}$ en deux fractions.

$\frac{x^{4}}{5} + \frac{- 4 x^{2}}{5} + \frac{3}{5}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{4}}{5} - \frac{4 x^{2}}{5} + \frac{3}{5}$