Algèbre Exemples

$f (x) = {(\frac{3}{2})}^{- x} - 7$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = {(\frac{3}{2})}^{- x} - 7$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{3}{2})}^{- x} - 7 = 0$ .

${(\frac{3}{2})}^{- x} - 7 = 0$

Étape 1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3^{- x}}{2^{- x}} - 7 = 0$

Étape 1.2.3

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3^{- x}}{2^{- x}} = 7$

Étape 1.2.4

Multipliez les deux côtés par $2^{- x}$ .

$\frac{3^{- x}}{2^{- x}} \cdot 2^{- x} = 7 \cdot 2^{- x}$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun de $2^{- x}$ .

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Étape 1.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{- x}}{2^{- x}} \cdot 2^{- x} = 7 \cdot 2^{- x}$

Étape 1.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$3^{- x} = 7 \cdot 2^{- x}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (3^{- x}) = \ln (7 \cdot 2^{- x})$

Étape 1.2.6.2

Développez $\ln (3^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$- x \ln (3) = \ln (7 \cdot 2^{- x})$

Étape 1.2.6.3

Réécrivez $\ln (7 \cdot 2^{- x})$ comme $\ln (7) + \ln (2^{- x})$ .

$- x \ln (3) = \ln (7) + \ln (2^{- x})$

Étape 1.2.6.4

Développez $\ln (2^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$- x \ln (3) = \ln (7) - x \ln (2)$

Étape 1.2.6.5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.6.5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- x \ln (3) - \ln (7) + x \ln (2) = 0$

Étape 1.2.6.5.2

Ajoutez $\ln (7)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x \ln (3) + x \ln (2) = \ln (7)$

Étape 1.2.6.5.3

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3) + x \ln (2)$ .

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Étape 1.2.6.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (2) = \ln (7)$

Étape 1.2.6.5.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (2)) = \ln (7)$

Étape 1.2.6.5.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (2))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (2)) = \ln (7)$

Étape 1.2.6.5.4

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (2)) = \ln (7)$

Étape 1.2.6.5.5

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (3) + \ln (2)) = \ln (7)$ par $- \ln (3) + \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.5.5.1

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (3) + \ln (2)) = \ln (7)$ par $- \ln (3) + \ln (2)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{\ln (7)}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Étape 1.2.6.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (3) + \ln (2)$ .

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Étape 1.2.6.5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)} = \frac{\ln (7)}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Étape 1.2.6.5.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (7)}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Étape 1.2.6.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.5.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3)$ .

$x = \frac{\ln (7)}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Étape 1.2.6.5.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (2)$ .

$x = \frac{\ln (7)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (2))}$

Étape 1.2.6.5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (3) - 1 (- \ln (2))$ .

$x = \frac{\ln (7)}{- (\ln (3) - \ln (2))}$

Étape 1.2.6.5.5.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 1.2.6.5.5.3.4.1

Réécrivez $- (\ln (3) - \ln (2))$ comme $- 1 (\ln (3) - \ln (2))$ .

$x = \frac{\ln (7)}{- 1 (\ln (3) - \ln (2))}$

Étape 1.2.6.5.5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (7)}{\ln (3) - \ln (2)}$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{\ln (7)}{\ln (3) - \ln (2)}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{- (0)} - 7$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(\frac{3}{2})}^{- (0)} - 7$

Étape 2.2.2

Simplifiez ${(\frac{3}{2})}^{- (0)} - 7$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{0} - 7$

Étape 2.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3^{0}}{2^{0}} - 7$

Étape 2.2.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = \frac{1}{2^{0}} - 7$

Étape 2.2.2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$y = \frac{1}{1} - 7$

Étape 2.2.2.1.5

Divisez $1$ par $1$ .

$y = 1 - 7$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $7$ de $1$ .

$y = - 6$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 6)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{\ln (7)}{\ln (3) - \ln (2)}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 6)$

Étape 4