Algèbre Exemples

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x) = 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x) = 3$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log_{2} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2 x) = 3$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2 x}) = 3$

Étape 2.1.3

Réduisez l’expression $\frac{x^{2}}{2 x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x \cdot x}{2 x}) = 3$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2}) = 3$

Étape 2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{x \cdot x}{x \cdot 2}) = 3$

Étape 2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{x}{2}) = 3$

Étape 2.1.4

Réécrivez $\frac{x}{2}$ comme $x \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (x \cdot 2^{- 1}) = 3$

Étape 2.1.5

Réécrivez $\log_{2} (x \cdot 2^{- 1})$ comme $\log_{2} (x) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

Étape 2.1.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{2} (x) - \log_{2} (2) = 3$

Étape 2.1.7

La base logarithmique $2$ de $2$ est $1$ .

$\log_{2} (x) - 1 \cdot 1 = 3$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{2} (x) - 1 = 3$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\log_{2} (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{2} (x) = 3 + 1$

Étape 3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$\log_{2} (x) = 4$

Étape 4

Réécrivez $\log_{2} (x) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $x = 2^{4}$ .

$x = 2^{4}$

Étape 5.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x = 16$