Algèbre Exemples

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 2}{x + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 3) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 2}{x + 3}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.1

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.4

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.5

Réécrivez $x^{2} - 9$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.1.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.1.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}$

Étape 4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - x}$

Étape 4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - (x)}$

Étape 4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$

Étape 4.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.1

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$ au numérateur.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + x}$

Étape 4.3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{x - 2}$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 3 - 1 \cdot 1}{x - 2}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - 1}{x - 2}$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{x - 4}{x - 2}$