Algèbre Exemples

$8 \sqrt[3]{2 x} = 4 x$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(8 \sqrt[3]{2 x})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(8 {(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(8 {(2 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

${(8 (2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8 (2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{3} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(2^{\frac{1}{3} + 3} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.2.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(2^{\frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.2.4

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

${(2^{\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(2^{\frac{1 + 3 \cdot 3}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.2.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

${(2^{\frac{1 + 9}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.2.6.2

Additionnez $1$ et $9$ .

${(2^{\frac{10}{3}} x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $2^{\frac{10}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

${(2^{\frac{10}{3}})}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{10}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{10}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{10}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{10} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $10$ .

$1024 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1024 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$1024 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1024 x^{1} = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.2.1.7

Simplifiez

$1024 x = {(4 x)}^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(4 x)}^{3}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$1024 x = 4^{3} x^{3}$

Étape 2.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$1024 x = 64 x^{3}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $64 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$1024 x - 64 x^{3} = 0$

Étape 3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Factorisez $64 x$ à partir de $1024 x - 64 x^{3}$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $64 x$ à partir de $1024 x$ .

$64 x (16) - 64 x^{3} = 0$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $64 x$ à partir de $- 64 x^{3}$ .

$64 x (16) + 64 x (- x^{2}) = 0$

Étape 3.2.1.3

Factorisez $64 x$ à partir de $64 x (16) + 64 x (- x^{2})$ .

$64 x (16 - x^{2}) = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$64 x (4^{2} - x^{2}) = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez.

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Étape 3.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$64 x ((4 + x) (4 - x)) = 0$

Étape 3.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$64 x (4 + x) (4 - x) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 3.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5

Définissez $4 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $4 + x$ égal à $0$ .

$4 + x = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.6

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $64 x (4 + x) (4 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4, 4$