Algèbre Exemples

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{8}{x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

Étape 2

Simplifiez $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour écrire $| x - 2 |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ .

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

Étape 4

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x | x - 2 | = 8$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $x | x - 2 | = 8$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $x | x - 2 | = 8$ par $x$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $| x - 2 |$ par $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

Étape 6

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

Étape 7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{8}{x} + 2$

Étape 7.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 7.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 7.4

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{8}{x} + 2$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{8}{x} + 2$ par $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Étape 7.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Étape 7.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 8 + 2 x$

Étape 7.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x = 8$

Étape 7.5.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 7.5.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Étape 7.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 7.5.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.5.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7.5.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.5.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 4, - 2$

Étape 7.6

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

Étape 7.7

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

Étape 7.8

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 7.8.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 7.9

Multiplier chaque terme dans $x = - \frac{8}{x} + 2$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.9.1

Multipliez chaque terme dans $x = - \frac{8}{x} + 2$ par $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Étape 7.9.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.9.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Étape 7.9.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.9.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.9.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{x}$ dans le numérateur.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Étape 7.9.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Étape 7.9.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

Étape 7.10

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.10.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Étape 7.10.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Étape 7.10.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.10.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.10.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.10.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.3

Soustrayez $32$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.4

Réécrivez $- 28$ comme $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (28)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.7

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.10.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.10.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 7.10.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Étape 7.10.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Étape 7.11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, 4, - 2$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 10.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $6$ n’est pas inférieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 1$ dans l’inégalité d’origine.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $3$ n’est pas inférieur au côté droit $- 8$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $4$ n’est pas inférieur au côté droit $1.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 0$ Faux

$0 < x < 4$ Vrai

$x > 4$ Faux

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < 4$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 < x < 4$

Notation d’intervalle :

$(0, 4)$

Étape 15