Algèbre Exemples

$y = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{1}{4} y + 6)}^{3}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$ .

${(\frac{1}{4} y + 6)}^{3} = x$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\frac{1}{4} y + 6 = \sqrt[3]{x}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $y$ .

$\frac{y}{4} + 6 = \sqrt[3]{x}$

Étape 2.4

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{4} = \sqrt[3]{x} - 6$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Étape 2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Étape 2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 (\sqrt[3]{x} - 6)$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez $4 (\sqrt[3]{x} - 6)$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot - 6$

Étape 2.6.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$y = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}} - 24$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{1}{4} x + 6) - 24$

Étape 4.2.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4} + 6) - 24$

Étape 4.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot 6 - 24$

Étape 4.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 4 \cdot 6 - 24$

Étape 4.2.4.5

Multipliez $4$ par $6$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 24 - 24$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $x + 24 - 24$ .

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $24$ de $24$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x + 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (4 \sqrt[3]{x} - 24)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x} - 24) + 6)}^{3}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 (\sqrt[3]{x})) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\frac{1}{4} \cdot (4 \sqrt[3]{x}) + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot - 24 + 6)}^{3}$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 24$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 6)) + 6)}^{3}$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 6) + 6)}^{3}$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} - 6 + 6)}^{3}$

Étape 4.3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.3.4.1

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{x} - 6 + 6$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(\sqrt[3]{x} + 0)}^{3}$

Étape 4.3.4.1.2

Additionnez $\sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 4.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 4.3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 4.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 4.3.4.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 4.3.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Étape 4.3.4.2.5

Simplifiez

$f (4 \sqrt[3]{x} - 24) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{1}{4} x + 6)}^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 24$