Algèbre Exemples

$\log_{5} (2 x^{2} - 1) - \log_{5} (x + 2) = 0$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{2 x^{2} - 1}{x + 2}) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{5} (\frac{2 x^{2} - 1}{x + 2}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{0} = \frac{2 x^{2} - 1}{x + 2}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$2 x^{2} - 1 = 5^{0} (x + 2)$

Étape 4

Simplifiez $5^{0} (x + 2)$ .

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Étape 4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 x^{2} - 1 = 1 (x + 2)$

Étape 4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$2 x^{2} - 1 = x + 2$

Étape 5

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 1 - x = 2$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} - x - 1 = 2$

Étape 6.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 2$

Étape 6.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 2$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 2$

Étape 6.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 2$

Étape 6.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 2$

Étape 6.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 2$

Étape 6.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 2$

Étape 7

Simplifiez $(2 x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 7.1

Développez $(2 x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x - 1) + 1 (x - 1) = 2$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 2$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Étape 7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Étape 7.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 2$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot - 1 = 2$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x - 1 = 2$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$2 x^{2} - x - 1 = 2$

Étape 8

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - x - 1 - 2 = 0$

Étape 9

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

Étape 10

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

Étape 10.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $2$ plus $- 3$

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

Étape 10.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

Étape 10.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

Étape 10.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 12

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 13

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 x - 3$ égal à $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 1, \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$x = - 1, 1.5$

Forme de nombre mixte :

$x = - 1, 1 \frac{1}{2}$