Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 13 x + 42}{2 x^{2} + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \div \frac{- x - 7}{- 9}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + 13 x + 42}{2 x^{2} + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 13 x + 42$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $42$ et dont la somme est $13$ .

$6, 7$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 x^{2} + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 28 x + 96$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2}) + 28 x + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $28 x$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2}) + 2 (14 x) + 96} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $96$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 x^{2} + 2 (14 x) + 2 \cdot 48} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 3.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (14 x)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2} + 14 x) + 2 \cdot 48} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 3.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 14 x) + 2 \cdot 48$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x^{2} + 14 x + 48)} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} + 14 x + 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $48$ et dont la somme est $14$ .

$6, 8$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 ((x + 6) (x + 8))} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{x^{2} + 13 x + 40}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 13 x + 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $13$ .

$5, 8$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{- 6 x^{2} - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x^{2} - 30 x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $6 x$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x) - 30 x} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.1.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 30 x$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x) + 6 x (- 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.1.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (- x) + 6 x (- 5)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6) (x + 8)} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x + 8$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x + 8$ à partir de $2 (x + 6) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x + 8) (2 (x + 6))} \cdot \frac{(x + 5) (x + 8)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.2.2

Factorisez $x + 8$ à partir de $(x + 5) (x + 8)$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x + 8) (2 (x + 6))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 5)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{(x + 8) (2 (x + 6))} \cdot \frac{(x + 8) (x + 5)}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6)} \cdot \frac{x + 5}{6 x (- x - 5)} \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{(x + 6) (x + 7)}{2 (x + 6)}$ par $\frac{x + 5}{6 x (- x - 5)}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{2 (x + 6) (6 x (- x - 5))} \cdot \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{12 (x + 6) (x (- x - 5))} \cdot \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12 (x + 6) (x (- x - 5))$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{3 (4 (x + 6) (x (- x - 5)))} \cdot \frac{- 9}{- x - 7}$

Étape 5.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{3 (4 (x + 6) (x (- x - 5)))} \cdot \frac{3 (- 3)}{- x - 7}$

Étape 5.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{3 (4 (x + 6) (x (- x - 5)))} \cdot \frac{3 \cdot - 3}{- x - 7}$

Étape 5.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{4 (x + 6) (x (- x - 5))} \cdot \frac{- 3}{- x - 7}$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5)}{4 (x + 6) (x (- x - 5))}$ par $\frac{- 3}{- x - 7}$ .

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5) \cdot - 3}{4 (x + 6) (x (- x - 5)) (- x - 7)}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 5.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) (x + 7) (x + 5) \cdot - 3}{4 (x + 6) (x (- x - 5)) (- x - 7)}$

Étape 5.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((x + 7) (x + 5)) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun à $x + 7$ et $- x - 7$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{(- 1 (- x) + 7) (x + 5) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Étape 5.8.2

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 7)) (x + 5) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Étape 5.8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- 1 (- x - 7) (x + 5) \cdot - 3}{(4 (x (- x - 5))) (- x - 7)}$

Étape 5.8.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- x - 7) (x + 5) \cdot - 3}{4 x (- x - 5) (- x - 7)}$

Étape 5.8.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 1 (x + 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Étape 5.9

Annulez le facteur commun à $x + 5$ et $- x - 5$ .

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Étape 5.9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) + 5) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Étape 5.9.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 1 (- 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Étape 5.9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- x - 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Étape 5.9.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 1 (- x - 5)) \cdot - 3}{4 x (- x - 5)}$

Étape 5.9.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 \cdot (- 1) \cdot - 3}{4 x}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 \cdot - 3}{4 x}$

Étape 6.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{- 3}{4 x}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4 x}$