Algèbre Exemples

$\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $arccsc ({(2)}^{- 1})$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{{({(2)}^{- 1})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi, $\cos (arccsc ({(2)}^{- 1}))$ est $\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$ .

$\sqrt{{(2^{- 1})}^{2} - 1} \cdot 2$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(2^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{- 1 \cdot 2} - 1} \cdot 2$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{2^{- 2} - 1} \cdot 2$

Étape 3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - 1} \cdot 2$

Étape 4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1} \cdot 2$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \cdot 2$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{1 - 4}{4}} \cdot 2$

Étape 8.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\sqrt{\frac{- 3}{4}} \cdot 2$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{- \frac{3}{4}} \cdot 2$

Étape 10

Réécrivez $- \frac{3}{4}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Étape 10.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{3}{4}} \cdot 2$

Étape 10.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}} \cdot 2$

Étape 10.3

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}} \cdot 2$

Étape 10.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)} \cdot 2$

Étape 10.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3} \cdot 2$

Étape 11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{i}{2} \sqrt{3} \cdot 2$

Étape 12

Associez $\frac{i}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{i \sqrt{3}}{2} \cdot 2$

Étape 13.2

Réécrivez l’expression.

$i \sqrt{3}$