Algèbre Exemples

$\frac{36 - x^{2}}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \div \frac{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{36 - x^{2}}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{6^{2} - x^{2}}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = x$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{x^{2} - 2 x - 48}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 2 x - 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 48$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 8, 6$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x^{3} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} - 48 x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 48 x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 48 x$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 48} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 48} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 4.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 48$ .

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x^{2} - 2 x - 48)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 48$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 8, 6$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x ((x - 8) (x + 6))} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $6 - x$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(6 + x) (6 - x)}{6 - x} \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 5.1.2

Divisez $6 + x$ par $1$ .

$(6 + x) \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$(6 + x) \cdot \frac{(x - 8) (x + 6)}{x (x - 8) (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$(6 + x) \cdot \frac{x + 6}{x (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x + 6$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$(6 + x) \cdot \frac{x + 6}{x (x + 6)} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$(6 + x) \cdot \frac{1}{x} \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 5.4

Multipliez $6 + x$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x^{3} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x^{2} - 10 x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 9 x) - 10 x}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x (- 9 x) + x \cdot - 10}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 6.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 9 x)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x^{2} - 9 x) + x \cdot - 10}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 6.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 9 x) + x \cdot - 10$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x^{2} - 9 x - 10)}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 6.2

Factorisez $x^{2} - 9 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 10, 1$

Étape 6.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x ((x - 10) (x + 1))}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 14 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2}) + 14 x^{2} + 12 x}$

Étape 7.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $14 x^{2}$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2}) + 2 x (7 x) + 12 x}$

Étape 7.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $12 x$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2}) + 2 x (7 x) + 2 x (6)}$

Étape 7.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (7 x)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2} + 7 x) + 2 x (6)}$

Étape 7.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2} + 7 x) + 2 x (6)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x^{2} + 7 x + 6)}$

Étape 7.2

Factorisez $x^{2} + 7 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $7$ .

$1, 6$

Étape 7.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x ((x + 1) (x + 6))}$

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x (x - 10) (x + 1)}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 10) (x + 1)$ .

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x ((x - 10) (x + 1))}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 + x}{x} \cdot \frac{x ((x - 10) (x + 1))}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Étape 8.1.3

Réécrivez l’expression.

$(6 + x) \frac{(x - 10) (x + 1)}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$(6 + x) \frac{(x - 10) (x + 1)}{2 x (x + 1) (x + 6)}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$(6 + x) \frac{x - 10}{2 x (x + 6)}$

Étape 8.3

Multipliez $6 + x$ par $\frac{x - 10}{2 x (x + 6)}$ .

$\frac{(6 + x) (x - 10)}{2 x (x + 6)}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun à $6 + x$ et $x + 6$ .

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Étape 8.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 6) (x - 10)}{2 x (x + 6)}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 6) (x - 10)}{2 x (x + 6)}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 10}{2 x}$