Algèbre Exemples

$\frac{p - q}{p^{3} q^{2}} - \frac{p + q}{p^{2} q^{3}}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{p - q}{p^{3} q^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{q}{q}$ .

$\frac{p - q}{p^{3} q^{2}} \cdot \frac{q}{q} - \frac{p + q}{p^{2} q^{3}}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{p + q}{p^{2} q^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{p}{p}$ .

$\frac{p - q}{p^{3} q^{2}} \cdot \frac{q}{q} - \frac{p + q}{p^{2} q^{3}} \cdot \frac{p}{p}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $p^{3} q^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{p - q}{p^{3} q^{2}}$ par $\frac{q}{q}$ .

$\frac{(p - q) q}{p^{3} q^{2} q} - \frac{p + q}{p^{2} q^{3}} \cdot \frac{p}{p}$

Étape 3.2

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p - q) q}{p^{3} (q^{1} q^{2})} - \frac{p + q}{p^{2} q^{3}} \cdot \frac{p}{p}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(p - q) q}{p^{3} q^{1 + 2}} - \frac{p + q}{p^{2} q^{3}} \cdot \frac{p}{p}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(p - q) q}{p^{3} q^{3}} - \frac{p + q}{p^{2} q^{3}} \cdot \frac{p}{p}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{p + q}{p^{2} q^{3}}$ par $\frac{p}{p}$ .

$\frac{(p - q) q}{p^{3} q^{3}} - \frac{(p + q) p}{p^{2} q^{3} p}$

Étape 3.6

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p - q) q}{p^{3} q^{3}} - \frac{(p + q) p}{p^{1} p^{2} q^{3}}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(p - q) q}{p^{3} q^{3}} - \frac{(p + q) p}{p^{1 + 2} q^{3}}$

Étape 3.8

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(p - q) q}{p^{3} q^{3}} - \frac{(p + q) p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(p - q) q - (p + q) p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p q - q \cdot q - (p + q) p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.2

Multipliez $q$ par $q$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Déplacez $q$ .

$\frac{p q - (q \cdot q) - (p + q) p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $q$ par $q$ .

$\frac{p q - q^{2} - (p + q) p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p q - q^{2} + (- p - q) p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p q - q^{2} - p \cdot p - q p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.5

Multipliez $p$ par $p$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1

Déplacez $p$ .

$\frac{p q - q^{2} - (p \cdot p) - q p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.5.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{p q - q^{2} - p^{2} - q p}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.6

Soustrayez $q p$ de $p q$ .

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Étape 5.6.1

Déplacez $q$ .

$\frac{- q^{2} - p^{2} + p q - 1 p q}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $p q$ de $p q$ .

$\frac{- q^{2} - p^{2} + 0}{p^{3} q^{3}}$

Étape 5.7

Additionnez $- q^{2} - p^{2}$ et $0$ .

$\frac{- q^{2} - p^{2}}{p^{3} q^{3}}$

Étape 6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- q^{2}$ .

$\frac{- (q^{2}) - p^{2}}{p^{3} q^{3}}$

Étape 6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- p^{2}$ .

$\frac{- (q^{2}) - (p^{2})}{p^{3} q^{3}}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (q^{2}) - (p^{2})$ .

$\frac{- (q^{2} + p^{2})}{p^{3} q^{3}}$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $- (q^{2} + p^{2})$ comme $- 1 (q^{2} + p^{2})$ .

$\frac{- 1 (q^{2} + p^{2})}{p^{3} q^{3}}$

Étape 6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{q^{2} + p^{2}}{p^{3} q^{3}}$