Algèbre Exemples

${(1 + i)}^{5} {(1 - i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$(1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$(1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Multipliez $10$ par $1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Factorisez $i^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Multipliez $5$ par $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.15.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.15.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.15.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Multipliez $5$ par $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Factorisez $i^{4}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.18.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.18.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.18.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Multipliez $i$ par $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $10$ de $1$ .

$(- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$(- 4 + 5 i - 10 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.2.3

Soustrayez $10 i$ de $5 i$ .

$(- 4 - 5 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 5 i$ et $i$ .

$(- 4 - 4 i) {(1 - i)}^{5}$

Étape 3

Utilisez le théorème du binôme.

$(- 4 - 4 i) (1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.7

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.9

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.11

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.13

Multipliez $10$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.14

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.16

Factorisez $i^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.18

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.19

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.20

Multipliez $i$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.21

Multipliez $5$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.22

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.23

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.24

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.25

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 4.1.25.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.25.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.25.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.26

Multipliez $5$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5})$

Étape 4.1.27

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5})$

Étape 4.1.28

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5})$

Étape 4.1.29

Factorisez $i^{4}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i))$

Étape 4.1.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 4.1.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i))$

Étape 4.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i))$

Étape 4.1.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i))$

Étape 4.1.31

Multipliez $i$ par $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i)$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $10$ de $1$ .

$(- 4 - 4 i) (- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i)$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 - 5 i + 10 i - i)$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 5 i$ et $10 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 5 i - i)$

Étape 4.2.4

Soustrayez $i$ de $5 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$

Étape 5

Développez $(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (- 4 + 4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$16 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Étape 6.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$16 - 16 i - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 4 i (4 i)$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 4 i (4 i)$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i i$

Étape 6.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i)$

Étape 6.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i^{1})$

Étape 6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{1 + 1}$

Étape 6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{2}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 \cdot - 1$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i + 16$

Étape 6.2

Additionnez $16$ et $16$ .

$32 - 16 i + 16 i$

Étape 6.3

Additionnez $- 16 i$ et $16 i$ .

$32 + 0$

Étape 6.4

Additionnez $32$ et $0$ .

$32$