Algèbre Exemples

${(1 + \sqrt{3} i)}^{2} = a + i b$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

$a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez.

$a + i b = 0 + 0 + {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ .

$a + i b = (1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$

Étape 2.3

Développez $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$a + i b = 1 (1 + \sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$a + i b = 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $\sqrt{3} i$ par $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Étape 2.4.1.4

Multipliez $\sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.4.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i$

Étape 2.4.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i$

Étape 2.4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i$

Étape 2.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i i$

Étape 2.4.1.4.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)$

Étape 2.4.1.4.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Étape 2.4.1.4.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}$

Étape 2.4.1.4.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}$

Étape 2.4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{1} i^{2}$

Étape 2.4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 i^{2}$

Étape 2.4.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 \cdot - 1$

Étape 2.4.1.7

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - 3$

Étape 2.4.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$a + i b = - 2 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i$

Étape 2.4.3

Additionnez $\sqrt{3} i$ et $\sqrt{3} i$ .

$a + i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Étape 3

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$ par $i$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i - a$ par $i$ .

$\frac{i b}{i} = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{i b}{i} = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- 2}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 2}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$b = \frac{- 2}{i} \cdot \frac{i}{i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Associez.

$b = \frac{- 2 i}{i i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{1} i} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.2.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{1} i^{1}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$b = \frac{- 2 i}{i^{1 + 1}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$b = \frac{- 2 i}{i^{2}} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.2.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$b = \frac{- 2 i}{- 1} + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 i}{- 1}$ .

$b = - 1 \cdot (- 2 i) + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 i)$ comme $- (- 2 i)$ .

$b = - (- 2 i) + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$b = 2 i + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.6

Annulez le facteur commun de $i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$b = 2 i + \frac{2 \sqrt{3} i}{i} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.6.2

Divisez $2 \sqrt{3}$ par $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a}{i}$

Étape 4.3.1.7

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- a}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 4.3.1.8

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.8.1

Associez.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i i}$

Étape 4.3.1.8.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.8.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1} i}$

Étape 4.3.1.8.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1} i^{1}}$

Étape 4.3.1.8.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.1.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{i^{2}}$

Étape 4.3.1.8.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{- a i}{- 1}$

Étape 4.3.1.9

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + \frac{a i}{1}$

Étape 4.3.1.10

Divisez $a i$ par $1$ .

$b = 2 i + 2 \sqrt{3} + a i$

Étape 4.3.2

Remettez dans l’ordre $2 i$ et $2 \sqrt{3}$ .

$b = 2 \sqrt{3} + 2 i + a i$