Algèbre Exemples

$\frac{8}{z} - z = 4$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$z, 1, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$z$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{8}{z} - z = 4$ par $z$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{8}{z} - z = 4$ par $z$ .

$\frac{8}{z} z - z \cdot z = 4 z$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{z} z - z \cdot z = 4 z$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$8 - z \cdot z = 4 z$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Déplacez $z$ .

$8 - (z \cdot z) = 4 z$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$8 - z^{2} = 4 z$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $4 z$ des deux côtés de l’équation.

$8 - z^{2} - 4 z = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 4$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 8)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 1 \cdot 8$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 8}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $16$ et $32$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.4.1.4.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$z = \frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 \sqrt{3}}{- 2}$ .

$z = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{- 1}$

Étape 3.4.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{- 1}$ .

$z = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{3})$

Étape 3.4.5

Réécrivez $- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{3})$ comme $- (2 \pm 2 \sqrt{3})$ .

$z = - (2 \pm 2 \sqrt{3})$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = - 2 - 2 \sqrt{3}, - 2 + 2 \sqrt{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$z = - 2 - 2 \sqrt{3}, - 2 + 2 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$z = - 5.46410161 \dots, 1.46410161 \dots$