Algèbre Exemples

$0.8 {(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}} = 20$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $0.8 {(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}} = 20$ par $0.8$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $0.8 {(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}} = 20$ par $0.8$ .

$\frac{0.8 {(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}}}{0.8} = \frac{20}{0.8}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.8 {(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}}}{0.8} = \frac{20}{0.8}$

Étape 1.2.2

Divisez ${(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

${(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}} = \frac{20}{0.8}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Divisez $20$ par $0.8$ .

${(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}} = 25$

Étape 2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 2 x + 110)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 2 x + 110)}^{1} = \pm 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 2 x + 110 = \pm 25^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\pm 25^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x^{2} + 2 x + 110 = \pm {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 2 x + 110 = \pm 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 2 x + 110 = \pm 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 2 x + 110 = \pm 5^{3}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$x^{2} + 2 x + 110 = \pm 125$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x^{2} + 2 x + 110 = 125$

Étape 4.2

Soustrayez $125$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 110 - 125 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $125$ de $110$ .

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.7

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.7.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 3, - 5$

Étape 4.9

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x^{2} + 2 x + 110 = - 125$

Étape 4.10

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.10.1

Ajoutez $125$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 110 + 125 = 0$

Étape 4.10.2

Additionnez $110$ et $125$ .

$x^{2} + 2 x + 235 = 0$

Étape 4.11

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.12

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 235$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 235)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13

Simplifiez

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Étape 4.13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 235}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 235$ .

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Étape 4.13.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 235}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $235$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 940}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.3

Soustrayez $940$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 936}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.4

Réécrivez $- 936$ comme $- 1 (936)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 936}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (936)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{936}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{936}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{936}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.7

Réécrivez $936$ comme $6^{2} \cdot 26$ .

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Étape 4.13.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $936$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36 (26)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (6 \sqrt{26})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{26}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.13.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{26}}{2}$

Étape 4.13.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{26}}{2}$ .

$x = - 1 \pm 3 i \sqrt{26}$

Étape 4.14

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + 3 i \sqrt{26}, - 1 - 3 i \sqrt{26}$

Étape 4.15

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 5, - 1 + 3 i \sqrt{26}, - 1 - 3 i \sqrt{26}$