Algèbre Exemples

$4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 \log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 \log_{x} (\sqrt{2})}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \log_{x} (\sqrt{2})}{4} = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\log_{x} (\sqrt{2})$ par $1$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{4}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{2 \cdot 4}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{8}$

Étape 2

Réécrivez $\log_{x} (\sqrt{2}) = \frac{1}{8}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{\frac{1}{8}} = \sqrt{2}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $8$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{8}})}^{8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Étape 3.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{8}})}^{8}$ .

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Étape 3.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Étape 3.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = {\sqrt{2}}^{8}$

Étape 3.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {\sqrt{2}}^{8}$

Étape 3.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {\sqrt{2}}^{8}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez ${\sqrt{2}}^{8}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{8}$ comme $2^{4}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(2^{\frac{1}{2}})}^{8}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{2} \cdot 8}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$x = 2^{\frac{8}{2}}$

Étape 3.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

Étape 3.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}$

Étape 3.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}$

Étape 3.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2^{\frac{4}{1}}$

Étape 3.2.2.1.1.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$x = 2^{4}$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$x = 16$