Algèbre Exemples

$4^{2 n^{2} + 2 n} = 8$

Étape 1

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{2 (2 n^{2} + 2 n)} = 2^{3}$

Étape 2

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 (2 n^{2} + 2 n) = 3$

Étape 3

Résolvez $n$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 n^{2} + 2 n) = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 n^{2} + 2 n) = 3$ par $2$ .

$\frac{2 (2 n^{2} + 2 n)}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 n^{2} + 2 n)}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $2 n^{2} + 2 n$ par $1$ .

$2 n^{2} + 2 n = \frac{3}{2}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 n^{2} + 2 n - \frac{3}{2} = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 n^{2}) + 2 (2 n) + 2 (- \frac{3}{2}) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 n^{2} + 2 (2 n) + 2 (- \frac{3}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 n^{2} + 4 n + 2 (- \frac{3}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$4 n^{2} + 4 n + 2 (\frac{- 3}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 n^{2} + 4 n + 2 (\frac{- 3}{2}) = 0$

Étape 3.3.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 n^{2} + 4 n - 3 = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 4$ et $c = - 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $n$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$n = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 3$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$n = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 3$ .

$n = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $16$ et $48$ .

$n = \frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.4

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$n = \frac{- 4 \pm \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$n = \frac{- 4 \pm 8}{2 \cdot 4}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$n = \frac{- 4 \pm 8}{8}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 8}{8}$ .

$n = \frac{- 1 \pm 2}{2}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$n = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$n = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$n = 0.5, - 1.5$

Forme de nombre mixte :

$n = \frac{1}{2}, - 1 \frac{1}{2}$