Algèbre Exemples

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Étape 1

Définissez $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ égal à $0$ .

$- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 125$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez $125$ comme $- 1 (- 125)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (- 125)$ .

$- (x^{3} - 125) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$- (x^{3} - 5^{3}) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

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Étape 2.1.5.1

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x^{2} - 75 x$ .

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x^{2}$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) - 75 x = 0$

Étape 2.1.6.2

Factorisez $15 x$ à partir de $- 75 x$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (- 5) = 0$

Étape 2.1.6.3

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x (x) + 15 x (- 5)$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x - 5$ à partir de $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x (x - 5) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $15 x (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x) = 0$

Étape 2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 5) (- 1 x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Étape 2.1.9

Simplifiez

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Étape 2.1.9.1

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Étape 2.1.9.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Étape 2.1.9.3

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 25 + 15 x) = 0$

Étape 2.1.10

Additionnez $- 5 x$ et $15 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez.

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Étape 2.1.11.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.11.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 2.1.11.1.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

Étape 2.1.11.1.1.2

Réécrivez $10$ comme $5$ plus $5$

$(x - 5) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

Étape 2.1.11.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 5) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

Étape 2.1.11.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.11.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 5) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

Étape 2.1.11.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 5) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

Étape 2.1.11.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 5$ .

$(x - 5) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

Étape 2.1.11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12

Associez les exposants.

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Étape 2.1.12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$(- 1 (- x) - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$(- 1 (- x) - 1 \cdot 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$- 1 (- x + 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.4

Élevez $- x + 5$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.5

Élevez $- x + 5$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(- x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 {(- x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- 1 {(- (x) + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.9

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x) - 1 \cdot - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.11

Réécrivez $- (x - 5)$ comme $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 {(- 1 (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.12

Appliquez la règle de produit à $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 (1 {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.14

Multipliez ${(x - 5)}^{2}$ par $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Étape 2.1.12.15

Élevez $x - 5$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((x - 5) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Étape 2.1.12.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

Étape 2.1.12.17

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 {(x - 5)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez ${(x - 5)}^{3}$ par $1$ .

${(x - 5)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 5)}^{3} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$ (Multiplicité de $3$ )

Étape 3