Algèbre Exemples

$v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Étape 1

Écrivez $v (R) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ comme une équation.

$y = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$G = \sqrt{\frac{2 y M}{R}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$ .

$\sqrt{\frac{2 y M}{R}} = G$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{2 y M}{R}}}^{2} = G^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{2 y M}{R}}$ comme ${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = G^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{2 y M}{R})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = G^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 y M}{R})}^{1} = G^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$\frac{2 y M}{R} = G^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez les deux côtés par $R$ .

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $R$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y M}{R} R = G^{2} R$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y M = G^{2} R$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $2 y M = G^{2} R$ par $2 M$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y M = G^{2} R$ par $2 M$ .

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y M}{2 M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Étape 3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $M$ .

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Étape 3.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y M}{M} = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Étape 3.4.3.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $v^{- 1} (G)$ pour montrer la réponse finale.

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$

Étape 5

Vérifiez si $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ est l’inverse de $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $v^{- 1} (v (G)) = G$ et $v (v^{- 1} (G)) = G$ .

Étape 5.2

Évaluez $v^{- 1} (v (G))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$v^{- 1} (v (G))$

Étape 5.2.2

Évaluez $v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}})$ en remplaçant la valeur de $v$ par $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\sqrt{\frac{2 G M}{R}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ comme $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ par $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}} \cdot \frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 G M}}{\sqrt{R}}$ par $\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{R}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.2

Élevez $\sqrt{R}$ à la puissance $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.3

Élevez $\sqrt{R}$ à la puissance $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{\sqrt{R} \sqrt{R}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{1 + 1}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{\sqrt{R}}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{R}}^{2}$ comme $R$ .

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Étape 5.2.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{R}$ comme $R^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{{(R^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R^{\frac{2}{2}}})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.3.6.5

Simplifiez

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M} \sqrt{R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{{(\frac{\sqrt{2 G M R}}{R})}^{2} R}{2 M}$

Étape 5.2.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 G M R}}{R}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{\sqrt{2 G M R}}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2 G M R}}^{2}$ comme $2 G M R$ .

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Étape 5.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 G M R}$ comme ${(2 G M R)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{({(2 G M R)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{{(2 G M R)}^{\frac{2}{2}}}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.6.5

Simplifiez

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.7

Annulez le facteur commun à $R$ et $R^{2}$ .

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Étape 5.2.3.7.1

Factorisez $R$ à partir de $2 G M R$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R^{2}} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.7.2.1

Factorisez $R$ à partir de $R^{2}$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{R (2 G M)}{R \cdot R} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{R} \cdot R}{2 M}$

Étape 5.2.4

Associez $\frac{2 G M}{R}$ et $R$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.1

Réduisez l’expression $\frac{2 G M R}{R}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M R}{R}}{2 M}$

Étape 5.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{\frac{2 G M}{1}}{2 M}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $2 G M$ par $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{2 G M}{2 M}$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $M$ .

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Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = \frac{G M}{M}$

Étape 5.2.7.2

Divisez $G$ par $1$ .

$v^{- 1} (\sqrt{\frac{2 G M}{R}}) = G$

Étape 5.3

Évaluez $v (v^{- 1} (G))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$v (v^{- 1} (G))$

Étape 5.3.2

Évaluez $v (\frac{G^{2} R}{2 M})$ en remplaçant la valeur de $v^{- 1}$ par $v$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{2 (\frac{G^{2} R}{2 M}) \cdot \frac{M}{R}}$

Étape 5.3.3

Associez $2$ et $\frac{G^{2} R}{2 M}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R)}{2 M} \cdot \frac{M}{R}}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{2 (G^{2} R)}{2 M}$ par $\frac{M}{R}$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 (G^{2} R) M}{2 M R}}$

Étape 5.3.5

Réduisez l’expression $\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{2 G^{2} R M}{2 M R}}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $R$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} R M}{M R}}$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $M$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{\frac{G^{2} M}{M}}$

Étape 5.3.7.2

Divisez $G^{2}$ par $1$ .

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = \sqrt{G^{2}}$

Étape 5.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$v (\frac{G^{2} R}{2 M}) = G$

Étape 5.4

Comme $v^{- 1} (v (G)) = G$ et $v (v^{- 1} (G)) = G$ , $v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$ est l’inverse de $v (G) = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ .

$v^{- 1} (G) = \frac{G^{2} R}{2 M}$