Algèbre Exemples

$\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}} = 32^{x + 3}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{8^{x - 1}}{2^{x}}}$ comme ${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{8^{x - 1}}{2^{x}})}^{1} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = {(32^{x + 3})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(32^{x + 3})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{(x + 3) \cdot 2}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{x \cdot 2 + 3 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 \cdot x + 3 \cdot 2}$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{8^{x - 1}}{2^{x}} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Placez $2^{x}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$8^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{x - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{x - 1}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (x - 1)} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2^{3 x + 3 \cdot - 1} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2^{3 x - 3} \cdot 2^{- x} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{3 x - 3 - x} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3.5

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$2^{2 x - 3} = 32^{2 x + 6}$

Étape 3.6

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{2 x - 3} = 2^{5 (2 x + 6)}$

Étape 3.7

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Étape 3.8

Résolvez $x$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez $5 (2 x + 6)$ .

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Étape 3.8.1.1

Réécrivez.

$2 x - 3 = 0 + 0 + 5 (2 x + 6)$

Étape 3.8.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 x - 3 = 5 (2 x + 6)$

Étape 3.8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - 3 = 5 (2 x) + 5 \cdot 6$

Étape 3.8.1.4

Multipliez.

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Étape 3.8.1.4.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 x - 3 = 10 x + 5 \cdot 6$

Étape 3.8.1.4.2

Multipliez $5$ par $6$ .

$2 x - 3 = 10 x + 30$

Étape 3.8.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.8.2.1

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x - 3 - 10 x = 30$

Étape 3.8.2.2

Soustrayez $10 x$ de $2 x$ .

$- 8 x - 3 = 30$

Étape 3.8.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.8.3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- 8 x = 30 + 3$

Étape 3.8.3.2

Additionnez $30$ et $3$ .

$- 8 x = 33$

Étape 3.8.4

Divisez chaque terme dans $- 8 x = 33$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 3.8.4.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x = 33$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Étape 3.8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 3.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{33}{- 8}$

Étape 3.8.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{33}{- 8}$

Étape 3.8.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{33}{8}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{33}{8}$

Forme décimale :

$x = - 4.125$

Forme de nombre mixte :

$x = - 4 \frac{1}{8}$