Algèbre Exemples

$2^{x^{2} - 4} = 3^{x^{2} - 4}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (2^{x^{2} - 4}) = \ln (3^{x^{2} - 4})$

Étape 2

Développez $\ln (2^{x^{2} - 4})$ en déplaçant $x^{2} - 4$ hors du logarithme.

$(x^{2} - 4) \ln (2) = \ln (3^{x^{2} - 4})$

Étape 3

Développez $\ln (3^{x^{2} - 4})$ en déplaçant $x^{2} - 4$ hors du logarithme.

$(x^{2} - 4) \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(x^{2} - 4) \ln (2)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x^{2} - 4) \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x^{2} - 4) \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (2) - 4 \ln (2) = (x^{2} - 4) \ln (3)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \ln (2) - 4 \ln (2) = x^{2} \ln (3) - 4 \ln (3)$

Étape 4.3

Soustrayez $x^{2} \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \ln (2) - 4 \ln (2) - x^{2} \ln (3) = - 4 \ln (3)$

Étape 4.4

Ajoutez $4 \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} \ln (2) - x^{2} \ln (3) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Étape 4.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \ln (2) - x^{2} \ln (3)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2} \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (2) + x^{2} (- 1 \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Étape 4.5.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \ln (2) + x^{2} (- 1 \ln (3))$ .

$x^{2} (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Étape 4.6

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x^{2} (\ln (2) - \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$

Étape 4.7

Divisez chaque terme dans $x^{2} (\ln (2) - \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$ par $\ln (2) - \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 4.7.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} (\ln (2) - \ln (3)) = - 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$ par $\ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x^{2} (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Étape 4.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4 \ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} = \frac{- 4 \ln (3) + 4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \ln (3) + 4 \ln (2)$ .

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Étape 4.7.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \ln (3)$ .

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3)) + 4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \ln (2)$ .

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3)) + 4 \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- \ln (3)) + 4 \ln (2)$ .

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3) + \ln (2))}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 4.7.3.3

Annulez le facteur commun à $- \ln (3) + \ln (2)$ et $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Étape 4.7.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Étape 4.7.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{4 (- \ln (3) + \ln (2))}{- \ln (3) + \ln (2)}$

Étape 4.7.3.3.3

Divisez $4$ par $1$ .

$x^{2} = 4$

Étape 4.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 4.9

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 4.10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 4.10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 4.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$