Algèbre Exemples

$r = 2 \cos (θ) + 2 \sin (θ)$

Étape 1

Comme $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , remplacez $\sin (θ)$ par $\frac{y}{r}$ .

$r = 2 \cos (θ) + 2 \frac{y}{r}$

Étape 2

Comme $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , remplacez $\cos (θ)$ par $\frac{x}{r}$ .

$r = 2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés par $r$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés par $r$ .

$r \cdot r = r (2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} = r (2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $r (2 \frac{x}{r} + 2 \frac{y}{r})$ .

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{2 x}{r} + 2 \frac{y}{r})$

Étape 3.3.1.1.2

Associez $2$ et $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r (\frac{2 x}{r} + \frac{2 y}{r})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$r^{2} = r \frac{2 x}{r} + r \frac{2 y}{r}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$r^{2} = r \frac{2 x}{r} + r \frac{2 y}{r}$

Étape 3.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$r^{2} = 2 x + r \frac{2 y}{r}$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 3.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$r^{2} = 2 x + r \frac{2 y}{r}$

Étape 3.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$r^{2} = 2 x + 2 y$

Étape 4

Comme $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , remplacez $r^{2}$ par $x^{2} + y^{2}$ et $r$ par $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y$

Étape 5

Écrivez en forme normalisée

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 2 x = 2 y$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$

Étape 5.2

Complétez le carré pour $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 5.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 5.2.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 5.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 5.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 5.2.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 5.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 5.2.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 5.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Étape 5.3

Remplacez $x^{2} - 2 x$ par ${(x - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 + y^{2} - 2 y = 0$

Étape 5.4

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} + y^{2} - 2 y = 0 + 1$

Étape 5.5

Complétez le carré pour $y^{2} - 2 y$ .

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Étape 5.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 5.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 5.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 5.5.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 5.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 5.5.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.5.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 5.5.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 5.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 5.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Étape 5.6

Remplacez $y^{2} - 2 y$ par ${(y - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = 0 + 1$

Étape 5.7

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 0 + 1 + 1$

Étape 5.8

Simplifiez $0 + 1 + 1$ .

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Étape 5.8.1

Additionnez $0$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1 + 1$

Étape 5.8.2

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$