Algèbre Exemples

$2 \log (m - 1) + \log (2) = \log (2 m^{2} - 1)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log (m - 1) + \log (2) - \log (2 m^{2} - 1) = 0$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (m - 1) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \log (m - 1) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1})$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez $2 \log (m - 1)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log ({(m - 1)}^{2}) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(m - 1)}^{2} \frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Étape 3.1.3

Associez ${(m - 1)}^{2}$ et $\frac{2}{2 m^{2} - 1}$ .

$\log (\frac{{(m - 1)}^{2} \cdot 2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Étape 3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(m - 1)}^{2}$ .

$\log (\frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Étape 4

Réécrivez $\log (\frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}$

Étape 5

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$2 {(m - 1)}^{2} = 10^{0} (2 m^{2} - 1)$

Étape 6

Simplifiez $10^{0} (2 m^{2} - 1)$ .

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Étape 6.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 {(m - 1)}^{2} = 1 (2 m^{2} - 1)$

Étape 6.2

Multipliez $2 m^{2} - 1$ par $1$ .

$2 {(m - 1)}^{2} = 2 m^{2} - 1$

Étape 7

Déplacez tous les termes contenant $m$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $2 m^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 {(m - 1)}^{2} - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Réécrivez ${(m - 1)}^{2}$ comme $(m - 1) (m - 1)$ .

$2 ((m - 1) (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.2

Développez $(m - 1) (m - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (m (m - 1) - 1 (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Multipliez $m$ par $m$ .

$2 (m^{2} + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $m$ .

$2 (m^{2} - 1 \cdot m - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 m$ comme $- m$ .

$2 (m^{2} - m - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 m$ comme $- m$ .

$2 (m^{2} - m - m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 (m^{2} - m - m + 1) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.3.2

Soustrayez $m$ de $- m$ .

$2 (m^{2} - 2 m + 1) - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 m^{2} + 2 (- 2 m) + 2 \cdot 1 - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.5

Simplifiez

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 m^{2} - 4 m + 2 \cdot 1 - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 m^{2} - 4 m + 2 - 2 m^{2} = - 1$

Étape 7.3

Associez les termes opposés dans $2 m^{2} - 4 m + 2 - 2 m^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Soustrayez $2 m^{2}$ de $2 m^{2}$ .

$- 4 m + 2 + 0 = - 1$

Étape 7.3.2

Additionnez $- 4 m + 2$ et $0$ .

$- 4 m + 2 = - 1$

Étape 8

Factorisez $2$ à partir de $- 4 m + 2$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 m$ .

$2 (- 2 m) + 2 = - 1$

Étape 8.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (- 2 m) + 2 (1) = - 1$

Étape 8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 m) + 2 (1)$ .

$2 (- 2 m + 1) = - 1$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $2 (- 2 m + 1) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $2 (- 2 m + 1) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 (- 2 m + 1)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 m + 1)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $- 2 m + 1$ par $1$ .

$- 2 m + 1 = \frac{- 1}{2}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 m + 1 = - \frac{1}{2}$

Étape 10

Déplacez tous les termes ne contenant pas $m$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 m = - \frac{1}{2} - 1$

Étape 10.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 m = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 10.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 2 m = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 10.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 m = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 10.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 m = \frac{- 1 - 2}{2}$

Étape 10.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- 2 m = \frac{- 3}{2}$

Étape 10.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 m = - \frac{3}{2}$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $- 2 m = - \frac{3}{2}$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $- 2 m = - \frac{3}{2}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 m}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 m}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $m$ par $1$ .

$m = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$m = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 11.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$m = - \frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 11.3.3

Multipliez $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 11.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = 1 (\frac{3}{2}) \frac{1}{2}$

Étape 11.3.3.2

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$m = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 11.3.3.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 11.3.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$m = \frac{3}{4}$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log (m - 1) + \log (2) = \log (2 m^{2} - 1)$ vrai.

$Aucune solution$