Algèbre Exemples

$x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$ .

$| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$

Étape 2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (x^{2} - 3 x - 2)$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 1 = x^{2} - 3 x - 2$

Étape 3.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 2 = x - 1$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 1$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 1$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 2 + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 3.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Étape 3.9

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 1 = - (x^{2} - 3 x - 2)$

Étape 3.10

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Étape 3.11

Simplifiez $- (x^{2} - 3 x - 2)$ .

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Étape 3.11.1

Réécrivez.

$0 + 0 - (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Étape 3.11.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Étape 3.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} - (- 3 x) - - 2 = x - 1$

Étape 3.11.4

Simplifiez

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Étape 3.11.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- x^{2} + 3 x - - 2 = x - 1$

Étape 3.11.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- x^{2} + 3 x + 2 = x - 1$

Étape 3.12

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.12.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 3 x + 2 - x = - 1$

Étape 3.12.2

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 2 = - 1$

Étape 3.13

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x^{2} + 2 x + 2 + 1 = 0$

Étape 3.14

Additionnez $2$ et $1$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Étape 3.15

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.15.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} + 2 x + 3$ .

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Étape 3.15.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Étape 3.15.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Étape 3.15.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.15.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 3.15.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Étape 3.15.2

Factorisez.

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Étape 3.15.2.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.15.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 3.15.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Étape 3.15.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Étape 3.16

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.17

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.17.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.17.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3.18

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.18.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.18.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.19

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 3.20

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}, 3, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$ vrai.

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Forme décimale :

$x = 4.23606797 \dots, - 1$