Algèbre Exemples

$3 \sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 1

Remplacez le $3 \sec^{2} (x)$ par $3 (1 + \tan^{2} (x))$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$3 (1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 \tan^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 \tan^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$3 \tan^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $2 \tan^{2} (x)$ de $3 \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan^{2} (x) = 1$

Étape 5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (x) = \pm 1$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = 1$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - 1$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = 1, - 1$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 1$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = 1$ .

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Étape 9.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 9.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 9.4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 9.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 9.4.2

Associez les fractions.

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Étape 9.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 9.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 9.4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1$ .

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Étape 10.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 10.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 10.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 10.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 10.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 10.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 10.6.3

Associez les fractions.

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Étape 10.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 10.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 10.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 10.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 10.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 10.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$