Algèbre Exemples

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{16 - x^{2}}{9 x}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{4^{2} - x^{2}}{9 x}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{- 6}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{- 6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 5

Multipliez $- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x - 4}$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{x - 4}$ par $\frac{6}{(x + 4) (x - 4)}$ .

$- \frac{6}{(x - 4) ((x + 4) (x - 4))} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 5.2

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1} (x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 5.3

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1 + 1} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Étape 6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9 x$ .

$\frac{3 (- 2)}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 (3 x)}$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 (3 x)}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 x}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{- 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)}$ par $\frac{(4 + x) (4 - x)}{3 x}$ .

$\frac{- 2 ((4 + x) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $4 + x$ et $x + 4$ .

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Étape 6.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 ((x + 4) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 ((x + 4) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 (4 - x)}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $4 - x$ et ${(x - 4)}^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (- 4) - x)}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Étape 6.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 2 (- 1 (- 4) - (x))}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Étape 6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 4) - (x)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (- 4 + x))}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Étape 6.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 4))}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 x}$

Étape 6.4.5

Factorisez $x - 4$ à partir de $- 2 (- 1 (x - 4))$ .

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 x}$

Étape 6.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.6.1

Factorisez $x - 4$ à partir de ${(x - 4)}^{2} \cdot 3 x$ .

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{(x - 4) ((x - 4) \cdot 3 x)}$

Étape 6.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{(x - 4) ((x - 4) \cdot 3 x)}$

Étape 6.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{(x - 4) \cdot 3 x}$

Étape 7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{(x - 4) \cdot 3 x}$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Déplacez $3$ à gauche de $x - 4$ .

$\frac{2}{3 \cdot (x - 4) x}$

Étape 8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2}{3 (x - 4) x}$ .

$\frac{2}{3 x (x - 4)}$