Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ comme une équation.

$y = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ .

$2 y^{- \frac{2}{3}} = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ par $2$ .

$\frac{2 y^{- \frac{2}{3}}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Placez $y^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{\frac{2}{3}}, 2$

Étape 3.3.2

Comme $y^{\frac{2}{3}}, 2$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 2$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{\frac{2}{3}}$ .

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.3.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.3.5

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 3.3.6

Le plus petit multiple commun de $1, 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 3.3.7

Le plus petit multiple commun de $y^{\frac{2}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.3.8

Le plus petit multiple commun pour $y^{\frac{2}{3}}, 2$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 y^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ par $2 y^{\frac{2}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ par $2 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (2 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Étape 3.4.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Étape 3.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.4.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 = x y^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ .

$x y^{\frac{2}{3}} = 2$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ par $x$ .

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $y^{\frac{2}{3}}$ par $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{x}$

Étape 3.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.4.1.1.2

Simplifiez

$y = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{x}$ .

$y = \pm \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 5.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$

Étape 5.3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} \geq 0$

Étape 5.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.3.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \geq 0$

Étape 5.3.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Étape 5.3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = 0^{2}$

Étape 5.3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 5.3.5.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.5.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.3.5.3.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.3.5.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.3.5.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5.3.6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.4.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$2 \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 5.4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 5.4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 0^{3}$

Étape 5.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.3.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.3.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ se trouve sur la plage de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ est le domaine de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 6