Algèbre Exemples

$(b^{2}) = b^{8}$

Étape 1

Soustrayez $b^{8}$ des deux côtés de l’équation.

$b^{2} - b^{8} = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} - b^{8}$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez par $1$ .

$b^{2} \cdot 1 - b^{8} = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $b^{2}$ à partir de $- b^{8}$ .

$b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- b^{6}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- b^{6})$ .

$b^{2} (1 - b^{6}) = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$b^{2} (1^{3} - b^{6}) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $b^{6}$ comme ${(b^{2})}^{3}$ .

$b^{2} (1^{3} - {(b^{2})}^{3}) = 0$

Étape 2.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = b^{2}$ .

$b^{2} ((1 - b^{2}) (1^{2} + 1 b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Étape 2.5

Factorisez.

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Étape 2.5.1

Simplifiez

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$b^{2} ((1^{2} - b^{2}) (1^{2} + 1 b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Étape 2.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = b$ .

$b^{2} ((1 + b) (1 - b) (1^{2} + 1 b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$b^{2} ((1 + b) (1 - b) (1^{2} + b^{2} + {(b^{2})}^{2})) = 0$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1^{2} + b^{2} + {(b^{2})}^{2}) = 0$

Étape 2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + b^{2} + {(b^{2})}^{2}) = 0$

Étape 2.7

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + b^{2} + b^{2 \cdot 2}) = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + b^{2} + b^{4}) = 0$

Étape 2.8

Factorisez.

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Étape 2.8.1

Réécrivez $1 + b^{2} + b^{4}$ en forme factorisée.

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Étape 2.8.1.1

Réécrivez le point milieu.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + 2 \cdot (1 b^{2}) - b^{2} + b^{4}) = 0$

Étape 2.8.1.2

Réorganisez les termes.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (1 + 2 \cdot (1 b^{2}) + b^{4} - b^{2}) = 0$

Étape 2.8.1.3

Factorisez les trois premiers termes selon la règle du carré parfait.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ({(1 + b^{2})}^{2} - b^{2}) = 0$

Étape 2.8.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1 + b^{2}$ et $b = b$ .

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ((1 + b^{2} + b) (1 + b^{2} - b)) = 0$

Étape 2.8.1.5

Simplifiez

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Étape 2.8.1.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ((b^{2} + b + 1) (1 + b^{2} - b)) = 0$

Étape 2.8.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) ((b^{2} + b + 1) (b^{2} - b + 1)) = 0$

Étape 2.8.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$b^{2} (1 + b) (1 - b) (b^{2} + b + 1) (b^{2} - b + 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$b^{2} = 0$

$1 + b = 0$

$1 - b = 0$

$b^{2} + b + 1 = 0$

$b^{2} - b + 1 = 0$

Étape 4

Définissez $b^{2}$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 4.1

Définissez $b^{2}$ égal à $0$ .

$b^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $b^{2} = 0$ pour $b$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$b = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$b = \pm 0$

Étape 4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$b = 0$

Étape 5

Définissez $1 + b$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 5.1

Définissez $1 + b$ égal à $0$ .

$1 + b = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$b = - 1$

Étape 6

Définissez $1 - b$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 6.1

Définissez $1 - b$ égal à $0$ .

$1 - b = 0$

Étape 6.2

Résolvez $1 - b = 0$ pour $b$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- b = - 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $- b = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- b = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- b}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{b}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$b = 1$

Étape 7

Définissez $b^{2} + b + 1$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 7.1

Définissez $b^{2} + b + 1$ égal à $0$ .

$b^{2} + b + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $b^{2} + b + 1 = 0$ pour $b$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $b$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$b = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$b = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Définissez $b^{2} - b + 1$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 8.1

Définissez $b^{2} - b + 1$ égal à $0$ .

$b^{2} - b + 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $b^{2} - b + 1 = 0$ pour $b$ .

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Étape 8.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $b$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 8.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$b = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$b = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$b = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $b^{2} (1 + b) (1 - b) (b^{2} + b + 1) (b^{2} - b + 1) = 0$ vraie.

$b = 0, - 1, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$