Algèbre Exemples

$\frac{2 x + 10}{x^{2} + x - 2} + \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 10$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 10}{x^{2} + x - 2} + \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x^{2} + x - 2} + \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + x - 2} + \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{2}{x + 2}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{2}{x + 2}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1)} + \frac{x}{x - 1}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1)} + \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{x}{x - 1}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (x + 5)}{(x - 1) (x + 2)} + \frac{2 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1)} + \frac{x (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 5) + 2 (x - 1) + x (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot 5 + 2 (x - 1) + x (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 x + 10 + 2 (x - 1) + x (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 10 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x + 10 + 2 x - 2 + x (x + 2)}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 10 + 2 x - 2 + x \cdot x + x \cdot 2}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.2.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x + 10 + 2 x - 2 + x^{2} + x \cdot 2}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x + 10 + 2 x - 2 + x^{2} + 2 x}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.1

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{4 x + 10 - 2 + x^{2} + 2 x}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.3.2

Additionnez $4 x$ et $2 x$ .

$\frac{6 x + 10 - 2 + x^{2}}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $2$ de $10$ .

$\frac{6 x + 8 + x^{2}}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $8$ .

$\frac{6 x + x^{2} + 8}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 3.3.3.3

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x + 8}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $6$ .

$2, 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 1)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 4}{x - 1}$