Algèbre Exemples

$2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (2) - \log (x) = \log (\frac{x + 3}{7})$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $2 \log (2) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7})$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Simplifiez $2 \log (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (2^{2}) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Étape 3.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\log (4) - \log (x) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Étape 3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{4}{x}) - \log (\frac{x + 3}{7}) = 0$

Étape 3.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{4}{x}}{\frac{x + 3}{7}}) = 0$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log (\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}) = 0$

Étape 3.1.5

Multipliez $\frac{4}{x} \cdot \frac{7}{x + 3}$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $\frac{7}{x + 3}$ .

$\log (\frac{4 \cdot 7}{x (x + 3)}) = 0$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$

Étape 4

Réécrivez $\log (\frac{28}{x (x + 3)}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{28}{x (x + 3)}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} = 10^{0}$

Étape 5.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} = 1$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x (x + 3), 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x (x + 3)$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ par $x (x + 3)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{28}{x (x + 3)} = 1$ par $x (x + 3)$ .

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x (x + 3)$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{28}{x (x + 3)} (x (x + 3)) = 1 (x (x + 3))$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$28 = 1 (x (x + 3))$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez $x (x + 3)$ par $1$ .

$28 = x (x + 3)$

Étape 5.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$28 = x \cdot x + x \cdot 3$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$28 = x^{2} + x \cdot 3$

Étape 5.4.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$28 = x^{2} + 3 x$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 3 x = 28$ .

$x^{2} + 3 x = 28$

Étape 5.5.2

Soustrayez $28$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 3 x - 28 = 0$

Étape 5.5.3

Factorisez $x^{2} + 3 x - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.5.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $3$ .

$- 4, 7$

Étape 5.5.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 7) = 0$

Étape 5.5.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 5.5.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.5.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.5.6

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.6.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 5.5.6.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 5.5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = 4, - 7$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log (2) - \log (x) = \log (x + 3) - \log (7)$ vrai.

$x = 4$