Algèbre Exemples

$y = x^{4} + 6 x^{3} - x^{2} - 6 x$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} + 6 x^{3} - x^{2} - 6 x$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} + 6 x^{3} - x^{2} - 6 x = 0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - x^{2} - 6 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} + 6 x^{3} - x^{2} - 6 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} + 6 x^{3} - x^{2} - 6 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (6 x^{2}) - x^{2} - 6 x = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (6 x^{2}) + x (- x) - 6 x = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $- 6 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (6 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x (6 x^{2})$ .

$x (x^{3} + 6 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{3} + 6 x^{2}) + x (- x)$ .

$x (x^{3} + 6 x^{2} - x) + x \cdot - 6 = 0$

Étape 1.2.2.1.7

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{3} + 6 x^{2} - x) + x \cdot - 6$ .

$x (x^{3} + 6 x^{2} - x - 6) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$x ((x^{3} + 6 x^{2}) - x - 6) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (x^{2} (x + 6) - (x + 6)) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 6$ .

$x ((x + 6) (x^{2} - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x ((x + 6) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez.

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Étape 1.2.2.5.1

Factorisez.

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Étape 1.2.2.5.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x ((x + 6) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Étape 1.2.2.5.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((x + 6) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (x + 6) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 6) (x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 6, - 1, 1$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 6, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 6 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 6 \cdot 0^{3} - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 6 \cdot 0^{3} - 0^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.5

Simplifiez ${(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 6 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.5.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 6 \cdot 0 - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.5.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - {(0)}^{2} - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.5.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 0 - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 6 \cdot 0$

Étape 2.2.5.1.6

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(0, 0), (- 6, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 0)$

Étape 4